Beispiele

Für die folgenden Beispiele wird davon ausgegangen, dass das Programm in einem Ordner liegt, der in der Umgebungsvariable PATH gespeichert ist und das Programm den Namen baum hat.

Wenn Sie unter Linux oder Mac arbeiten, öffnen Sie ein Terminal (auch Konsole oder Kommandozeile genannt), in Windows die sogenannte Eingabeaufforderung.

 

Geben Sie folgendes ein:

baum A+B A+B+C+D,A+B

Dann erscheint folgendes Baumdiagramm in ihrem Benutzerverzeichnis:

einfaches Baumdiagramm
So sieht das Baumdiagramm in Standardeinstellung aus. Hier gibt es die originale svg-Datei.
einfaches Baumdiagramm mit Farbe
So sieht das gleiche Baumdiagramm mit individuellen Farbeinstellungen aus. Hier gibt es die originale svg-Datei.

Wie Sie sehen, können Sie die Farben der Zweige, der Knotenpunkte und deren Rahmen (inkl. Strichelungsarten) frei einstellen. Hierzu gibt es eine Einstellungsdatei im Verzeichnis [Homeverzeichnis]/.config/Baumdiagramme (unter Windows [appdata]/Baumdiagramme). Dort können Sie auch die Größe, Abstände, den Pfad, wo die Baumdiagramme gespeichert werden sollen sowie das Programm mit dem das Baumdiagramm unmittelbar nach der Erstellung geöffnet werden soll, einstellen. Sie haben die Möglichkeit svg-Dateien (Skalierbare Vektorgrafiken) und/oder odt-Dateien (LibreOffice bzw. OpenOffice Writer) zu erstellen. Bei odt-Dateien gibt es etwas mehr Einstellungsmöglichkeiten.

svg-Dateien können zum Beispiel mit Online-Convertern in alle möglichen Bildformate (png, jpg, etc.) umgewandelt werden. LibreOffice-Dokumente kann man per Knopfdruck als pdf exportieren.

Weitere Beispiele:

Mit Wahrscheinlichkeiten:

Folgende Eingabe:

baum A+B+C D+E,F,G+H+I+J p 0.1+0.2+0.7 0.2+0.8,1,0.1+0.2+0.3+0.4

ergibt zum Beispiel:

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten
Ein Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten.
Man kann statt Brüchen in der Einstellungsdatei auch Dezimalzahlen einstellen. Hier gibt es die originale svg-Datei.

oder das:

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten
Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen. Hier gibt es die originale svg-Datei.

 

Sollte man spezielle Baumdiagramme haben, wo sich viel wiederholt, gibt es einige Abkürzungen.

Sind alle Stufen voneinander unabhängig, verwendet man die Option u:

baum u A+B C+D+E F+G+H+I

Ohne Abkürzung müsste man schreiben:

baum A+B C+D+E,C+D+E F+G+H+I,F+G+H+I,F+G+H+I,F+G+H+I,F+G+H+I,F+G+H+I

In beiden Fällen ergibt sich folgender Baum:

Baumdiagramm
Ein dreistufiges Baumdiagramm mit von einander unabhängigen Stufen. Hier gibt es die originale svg-Datei.

Das ganze geht natürlich auch mit Wahrscheinlichkeiten:

baum u A+B C+D+E F+G+H+I p 0.1+0.9 0.2+0.7+0.1 0.1+0.2+0.3+0.4

Hier macht sich die Abkürzung deutlich bemerkbar:

Baumdiagramm
Ein dreistufiges Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten. Die svg-Datei in Originalgröße findet sich hier.

Wenn die Stufen nicht nur unabhängig voneinander sind, sondern alle gleich, kann man noch mehr abkürzen:

Statt baum u A+B+C A+B+C A+B+C kann man auch schreiben:

baum m 3 A+B+C

Das ergibt dann:

Baumdiagramm
Mehrstufiges Baumdiagramm. Orginaldatei als svg.

 

Oder mit Wahrscheinlichkeiten:

baum m 5 A+B 1/4+3/4

Baumdiagramm
Fünfstufiges Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten. Die Original-svg-Datei gibt es hier.

Zweimaliges Würfeln kann so veranschaulicht werden:

baum m 2 1+2+3+4+5+6 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6

Das geht auch kürzer. Wenn alle Wahrscheinlichkeiten gleich sein sollen, benutzt man ein g:

baum m 2 1+2+3+4+5+6 g

Heraus kommt:

Baumdiagramm
Zweistufiges Baumdiagramm mit 36 Pfaden in einer Sekunde erstellt. Hier gehts zur Original-svg-Datei.

Urnenmodelle kann man ebenfalls direkt eingeben:

Eine Urne enthält 2 rote (R) und 3 weiße (W) Kugeln.

  1. Wir ziehen 3 Kugeln mit Zurücklegen: baum z 3 R 2 W 3 p
  2. Wir ziehen 3 Kugeln ohne Zurücklegen: baum o 3 R 2 W 3 p
  3. Wir ziehen 3 Kugeln mit Dazulegen: baum d 3 R 2 W 3 p
Baumdiagramm
3 mal Ziehen mit Zurücklegen. Hier gibt es die Original-svg-Datei.
Baumdiagramm
3 mal Ziehen ohne Zurücklegen. Hier gibt es die Original-svg-Datei.
Baumdiagramm
3 mal Ziehen mit Dazulegen. Hier geht es zur Original-svg-Datei.

Specials:

Mit der Tilde kann man überstrichene Gegenereignisse darstellen. Mit dem Minuszeichen „-“ kann man das Baumdiagramm „stutzen“, also Zweige weglassen:

Beispiel: Man hält so oft das Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person fest, bis man zum ersten mal eine weibliche Person findet. Maximal jedoch vier Personen:

baum W+W~ -,W+W~ -,-,W+W~ -,-,-,W+W~ p 0.4+0.6 1,0.4+0.6 1,1,0.4+0.6 1,1,1,0.4+0.6

Ergibt folgenden gestutzten Baum:

Baumdiagramm
gestutztes Baumdiagramm. Hier geht es zur Original-svg-Datei.

Viel Spaß damit. Fragen, Fehlermeldungen, Wünsche und Anregungen unten in den Kommentaren.

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37 Gedanken zu “Beispiele

  1. Sehr gutes Programm. Es funktioniert unter Windows 8.1 64bit ohne Probleme. Leider werden Brüche stets in Dezimalbrüche umgewandelt. Wie kann ich das unterbinden?

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    • Freut mich.

      In den Einstellungsdateien (svgEinstellungen.txt bzw. odtEinstellungen.txt) unter der Überschrift [Eigenschaften der Zweigwahrscheinlichkeiten] gibt es die die Einstellung BruchZweige; die auf =0 setzen und für die Ergebnisspalte unter [Eigenschaften der Wahrscheinlichkeits-Ergebnisspalte] die Einstellung BruchErgebnis ebenfalls auf 0 setzen um dort Dezimalzahlen zu erhalten.

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  2. Hallo Mathelehrer,
    zuerst ein großes Lob an die gelungene Arbeit. Jedoch stellte sich bei mir das Problem, dass beim Eintragen der Wahrscheinlichkeit, dass diese an die Knoten geschrieben wurden. Nachdem ich in der txt der svg-Einstellungen den Wert WskVerschiebung=5 setze und dann wieder auf 0.5 zurück, klappt alles wunderbar.
    Jedoch habe ich das Problem der unlesbaren Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen immernoch, wenn ich nicht mit Brüchen, sondern mit Dezimalzahlen arbeite. Hierbei bin ich aber überfragt, deswegen leite ich die Frage weiter: Wo ist an dieser Stelle das Problem?

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    • Danke für die freundliche Rückmeldung.

      Dass die Wahrscheinlichkeiten bei normaler Einstellungen an den Knoten erscheinen, hatte ich zu Beginn der Programmierarbeiten mal festgestellt. Dies lag an der ungenügenden Umsetzung des svg-Standards durch die Anzeigeprogramme. Dies konnte ich aber durch eine andere Programmierung umgehen, so dass es jetzt bei allen von mir getesteten Programmen richtig angezeigt wird.

      Daher meine Frage: Welches Programm verwenden Sie zum Anzeigen der svg-Datei?

      Sie können mir gerne mal eine Beispieldatei zusenden, und ich prüfe, ob die bei mir funktioniert:

      mathematikfosbayern@gmx.de

      Umgekehrt können Sie mal testen, ob folgende Datei richtig angezeigt wird. Der erste Link ist eine svg-Datei, der zweite als png um zu sehen, wie es sein sollte.

      https://www.dropbox.com/s/1wmvdr9at3urubm/Testbaum.svg?dl=0

      Bei mir funktioniert die Darstellung in Chromium, Mozilla Firefox, Opera und Inkview einwandfrei.

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  3. Danke für die Antwort. Der Darstellungsfehler bestand/ besteht beim Öffnen mit dem Internet Explorer. Dabei könnte es durchaus möglich sein, dass der verwendete nicht aktuelle ist. Beim Öffnen mit Firefox besteht das Darstellungsproblem nicht. Alles wunderbar!

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    • Freut mich, dass es klappt. Gut zu wissen, dass der Internet-Explorer nicht in der Lage ist svg richtig darzustellen. Den hatte ich gar nicht zum Testen. Ist wohl nicht schade drum, dass der nun eingemottet wird. 😉

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  4. Super Programm!

    Leider bin ich erst jetzt darauf aufmerksam geworden. Ich unterrichte ebenfalls an der FOS/BOS und das Programm ist genau das, was ich brauche. Ich bin leider zu dumm, die überstrichenen Gegenereignisse mittels Tilde darzustellen. Konkret: „Ein Würfel soll so lange geworfen werden, bis zum ersten Mal „Sechs“ erscheint, höchstens jedoch dreimal.“ Die Tilde in der Kommandozeile wird bei mir leider nicht mitkompiliert…

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  5. Danke für die Rückmeldung.
    Wenn ich folgendes eingebe, erscheint bei mir alles korrekt:

    baum 6+6~ -,6+6~ -,-,6+6~

    Welches Betriebssystem, welche Dateiart (odt oder svg?) und falls svg welches Darstellungsprogramm verwenden Sie?

    Kollegialer Gruß

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    • Danke für die rasche Antwort. Dateiart svg, Aufruf mit InkScape. Viel Spaß diese Woche beim Korrigieren der Prüfungen…

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    • Danke, den werd ich haben. 😉
      Das Problem mit InkScape kann ich bestätigen. Das liegt wohl schlicht daran, dass InkScape noch in Version 0.x vorliegt und noch nicht den vollständigen svg-Standard unterstützt. Offenbar ist überstrichener Text im fehlenden Teil dabei. Eine Lösung wäre ein anderes Darstellungsprogramm zu verwenden: Chrome, Mozilla Firefox, Opera etc. funktionieren bei mir tadellos. Oder auf Version 1.0 von Inkscape warten 😉

      Viel Anti-Korrektur-Frust-Polster und schöne „Ferien“.

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    • Nein, diese Einstellung gibt es aktuell leider nicht. Man kann natürlich im Nachhinein manuell die Wahrscheinlichkeiten ändern – bei svg-Dateien zum Beispiel mit einem Texteditor. Ich werde den Vorschlag in meine ToDo-Liste aufnehmen.

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  6. Wenn ich in der cmd meinen baum angebe, stehen am ende die Wahrscheinlichkeiten nicht in der Mitte eines Astes sondern am Anfang, was ist falsch?

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    • Das klingt nach einem Problem mit dem Darstellungsprogramm für svg-Dateien. Welches Programm benutzen Sie denn? Im obigen Kommentar hat der Internet-Explorer versagt. Mit Mozilla Firefox, Chromium, Opera etc. sollte die Anzeige stimmen.
      Möglicherweise können Sie als „Workaround“ auch die Einstellungen entsprechend ändern, das heißt, die Wahrscheinlichkeiten weiter nach rechst verschieben.

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  7. Einfaches und nützliches Programm.
    Eine Frage; Lassen sich auch bedingbare Wahrscheinlichkeiten darstellen, sodass die fehlenden WK aus der Schnittmenge berechnet werden?
    Ich nutze Ihr Programm wegen einer Behinderung für Stochastik im Abitur und bisher hat es sehr gut funktioniert.
    Vielen Dank dafür.

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    • Scheinbar habe ich keine Benachrichtigung über Ihren Kommentar erhalten. Entschuldigen Sie die späte Antwort.
      Allerdings verstehe ich Ihre Frage nicht ganz. Wollen Sie eine Zweigwahrscheinlichkeit weglassen und die aus einer Pfadwahrscheinlichkeit berechnen?

      Freut mich, dass das Programm hilfreich ist. Viele Grüße

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    • Lassen Sie mich noch einmal versuchen, meine Fragen zu erklären. Momentan arbeiten wir mit bedingten WK und Vierfeldertafeln, diese müssen dann in ein Baumdiagramm umgesetzt werden. In der Vierfeldertafel lassen sich also zwei Merkmale ablesen, die abhängig voneinander sein können.
      Daraus ergibt sich ein zweistufiges Baumdiagramm mit jeweils zwei Ästen pro Stufe. (Bsp. A und A° in der ersten Stufe bzw. B und B° in der zweiten Stufe) Die WK auf den Pfaden der ersten Stufe wird wie normal mit Division aus der Anzahl der Fälle mit Merkmal und der Gesamtanzahl möglicher Fälle berechnet. Für die Ergebnis-WK hinter den Pfaden steht wie normal die Schnittmenge beider Merkmale im Zähler, beide Werte lassen sich hierbei aus der Vierfeldertafel ablesen.
      Der letzte Wert zwischen Merkmal A und B im Baumdiagramm ist nun das Ergebnis von der Rechnung „Ergebnis-WK hinter dem Pfad“ geteilt durch „WK des ersten Merkmales (erste Stufe)“, sodass sich der Wert aus den benachbarten WKs berechnen lässt.
      Da ich die Diagramme nicht nachträglich bearbeiten kann, oder zumindest nicht weiß wie, ist meine Frage, ob das Programm den beschriebenen letzten Wert selbstständig berechnen und einfügen könnte.
      Da man zur Berechnung alle anderen Werte benötigt, ist es schwer Baumdiagramme für bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erstellen.
      Ich hoffe sie können mit meiner Erklärung etwas anfangen.
      Vielen Dank

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    • Diese Funktion gibt es leider nicht. Wenn Sie svg-Dateien erstellen, könnten Sie diese manuell mit einem Texteditor bearbeiten. Sie könnten zum Beispiel als Wahrscheinlichkeit beim betreffenden Zweig einen beliebigen Wert (z.B. 0,123) angeben und diesen dann später im Texteditor durch die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ersetzen. Bei odt-Dateien ist es zumindest bei Dezimalzahlen kein Problem, diese manuell auszubessern, wenn Sie Libreoffice oder Openoffice haben.

      Viele Grüße

      On Fri, 23 Oct 2015 18:51:43 +0000

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    • Im Rahmen eines Urnenmodells können die Zweigwahrscheinlichkeiten mit ungekürzten Brüchen dargestellt werden. Dazu unter den Allgemeinen Einstellungen UrneKuerzen auf 0 setzen.
      Bei einem normalen Baum geht das momentan nicht. Wenn das gewünscht ist, kann ich das evtl. in einer späteren Version einbauen – leider ist die Zeit momentan knapp.

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  8. Das Flag hatte ich zwischenzeitlich gefunden, trotzdem besten Dank. Die Schittwahrscheinlichkeit könnte man nicht auch ungekürzt oder doch zumindest mit einem gemeinsamen Nenner rechnen?

    Beste Grüße

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    • Automatisch leider nicht. SVG-Dateien könnten natürlich per Hand (mit einem Texteditor) angepasst werden. Ich werde mal sehen, wann ich Zeit habe, dass einzuprogrammieren.

      Viele Grüße

      On Mon, 19 Oct 2015 10:20:13 +0000

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  9. Erstmal: Sehr tolles Programm und Danke, dass Sie das verfügbar machen.

    Ich habe mich ziemlich gewundert, als ich die folgende Befehlszeile ausgeführt hatte und die Wahrscheinlichkeiten in der Wsk-Ergebnisspalte sah. Es gibt dort Brüche mit 0 „Null“ im Nenner…

    Baum m 5 0+1+2+3+4+5+6 1639820/3218391+409955/1072797+1464125/15019158+234260/22528737+3445/7509579+53/7509579+1/45057474

    Ansonsten stimmt aber (wahrscheinlich) alles.
    Wenn ich m 2 nehme, tritt das „Symptom“ nicht auf. (Ich hab die Wahrscheinlichkeiten[Ergebnisse] allerdings nirgendwo nachgerechnet.)

    Da ich keine Idee habe, woran das liegt, frag ich nun einfach mal.

    Anderes:
    Wenn ich einstelle, dass an den Pfaden die Wsk in Brüchen und parallel zum Rand angezeigt werden sollen, dann stehen die Brüche mitten auf den (Pfad)Linien und bei enger aneinanderliegenden Pfaden wird die Zuordnung auch ziemlich schwierig.
    Da dieses ganze Positionieren und Platz freihalten aber ja ziemlich aufwendig ist/wäre, wollte ich das nur einmal angemerkt haben. (Bei kleineren Brüchen störst wohl nicht. Und nachträglich verschieben ginge ja rein theoretisch auch.)

    Allerdings gibt’s in der Richtung noch was komisches. Wenn die Brüche parallel zu den Pfaden sein sollen, so erscheinen weder die Linien für die Pfade, noch die Pfad-Wsk. Alles andere allerdings schon; an den zu erwartenden Positionen.

    Nach dem ganzen Kram ..

    .. Vielen Dank für eine Antwort

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    • Nutze WinXP SP3 ; Resultate geprüft mit Mozilla Firefox 43.0.4 , Inkscape 0.91 r13725 und Safari auf iPad mit iOS 9.2.1

      Und eher: Die Zuordnung wird etwas unintuitiv, durch unglückliche Position bei schräg verlaufenden Pfadlinien. Der Bruch steht dann zwischen zwei Linien und bei größeren Diagrammen kommt die Wsk des einen aber nicht mehr gleich nebenan sonder ein/zwei Stückchen weiter weg, oder die Brüche drängen sich alle relativ eng nebeneinander über die Linien.
      (Und zur besseren Beschreibung)

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    • Hallo, danke für das Feedback. Habe leider gerade wenig Zeit.

      Es gibt dort Brüche mit 0 “Null” im Nenner

      Kann ich nicht bestätigen. Bei welchem Pfad soll das vorkommen? Möglicherweise müssen Sie die Ergebnisspalte breiter einstellen, da die Brüche so breit sind?

      zum Beispiel:

      [Eigenschaften der Wahrscheinlichkeits-Ergebnisspalte]
      WskBreite=10

      Allerdings gibt’s in der Richtung noch was komisches. Wenn die Brüche parallel zu den Pfaden sein sollen, so erscheinen weder die Linien für die Pfade, noch die Pfad-Wsk.

      Das kann ich bestätigen. Vielen Dank für die Meldung. Werde ich mir mal ansehen. Scheint ein Bug zu sein.

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    • Zuerst danke für die Rückmeldung.

      Und ich hab total vergessen zu erwähnen, dass ich nur svg-Dateien erzeugt habe.
      Möglicherweise war das etwas blöd geschrieben .. Es gibt „0“ als Nenner; z.B. „2921283177 / 0“ und mehrmals „1 / 0“
      Auftritte von x/0 bei folgenden Ergebnissen:
      00004 – 00006 ; 00014 – 00016 ; 00024 – 00026 ; 00032 – 00066 (hier auch 1/0) ; 00104 – 00106 ; 00114 – 00116 ; 00124 – 00126 ; 00133 – 00166 (hier auch 1/0) ; 00204 – 00206 ; und weitere….

      WskBreite hatte ich bereits auf 5 hochgestellt, da vorher die Brüche einfach in der Spalte zentriert und links & rechts grafisch abgeschnitten wurden.
      Ich habe das selbe Diagramm (Baum m 5 ……7474) jetzt noch einmal mit WskBreite 5 sowie 10 erstellt. Bei beiden treten weiterhin an selber Position die „0“-Nenner auf.

      Meine persönliche Vermutung geht daher auf die Berechnung bzw. Verarbeitung, aber einen Anhaltspunkt dafür habe ich auch nicht. Ich habe halt (ohne viel Überlegen) keine Idee, wie das mathematisch zustande soll.. Allerdings werden die Wahrscheinlichkeiten einiger Pfad(Abschnitte) so klein, dass sie schon wie z.B. „7.05765e-006“ angezeigt werden. Möglicherweise hängt das irgendwie mit der Darstellung, Umformung in oder dem Kürzen der Brüche zusammen.
      Wenn ich mathematisch nicht auf dem Holzweg bin, dann kommt bei mir (mit GeoGebra CAS, und Taschenrechner) für das Ergebnis 00000 das raus: ( 1639820 / 3218391 ) ^ 5 = 11857165858045007135843043200000 / 345297970245827091198953317152951 Entspricht irgendwie nicht dem Diagramm.. Ich tippe also auf irgendwas in der Verarbeitung, aber wo das Problem herkommt kann ich noch nicht einmal sinnvoll mutmaßen.
      Möglicherweise ist der Input ja auch zu unförmig oder so_

      Allerdings kann ich mir gar keinen Reim darauf machen, warum das bei Ihnen nicht auftritt.

      Vielleicht haben Sie eher eine Idee _

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    • Und die Brüche mit einer 0 im Nenner kommen offenbar nach irgendeinem Muster vor.
      Was sich von den angezeigten Zahlen her mit den dort jeweils relativ kleineneren PfadWsk in Verbindung bringen lässt.

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    • Den Nenner 0 kann ich zwar nicht bestätigen, aber ich denke, ich weiß woher die Abweichungen kommen: Die Zahlen sind zu groß. Ein unsigned long integer ist max. 20 Stellen lang. Mehr kann man auf normalen Weg in C nicht verarbeiten. Größere Zahlen würden eine BCD-Rechnung erfordern, die im Verhältnis wesentlich mehr Speicher und Zeit benötigt. Da 20 Stellen in der Regel ausreichen, habe ich es dabei belassen. Wenn Sie ein 32-Bit-System haben, könnten auch mehr als 10 Stellen schon ein Problem darstellen.

      Es handelt sich also um keinen Fehler, sondern um eine Beschränkung. Aber wie gesagt: Beliebig große Zahlen zu verarbeiten wäre ein deutlich größerer Aufwand.

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  10. Ich schreibe gerade meine Seminararbeit über Beweise in der Stochastik und dafür ist das Programm natürlich wie geschaffen.
    Allerdings stürzt es bei mir ab, wenn ich zu lange Befehle eingebe. Win 10 Pro und als Darstellungsprogramm verwende ich Internet Explorer.
    Genau gesagt möchte ich folgenden Befehl ausführen :

    baumwindows32.exe R+N R+N,R+N N,R+N,R+N,R+N N,N,R+N,N,R+N,R+N,R N,N,N,R,N,N,R,N,R,R p 0.331+0.661 0.339+0.661,0.339+0.661,0.339+0.661,0.339+0.661 1,0.339+0.661,0.339+0.661,0.339+0.661 1,1,0.339+0.661,1,0.339+0.661,0.339+0.661,1 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

    Es gibt dabei keinen unterschied zwischen der 32 bit und 64 bit Version. Jedes mal kommt die Meldung : baumwindows32.exe funktioniert nicht mehr. Dennoch erhalte ich eine svg-datei die allerdings nicht vollständig ist. Einige eingegeben Werte fehlen einfach. Priorität des Prozesses hab ich schon erhöht, hat nichts gebracht. Die Windows installation ist relativ frisch, sollte keine Interferenzen mit anderen Programmen geben.

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    • Danke für die Rückmeldung.
      Unter Linux funktioniert die Eingabe wunderbar und das Diagramm wird korrekt erstellt. Ich werde es heute unter Windows 10 versuchen. Was ist denn die genaue Fehlermeldung?

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    • Danke für die schnelle Rückmeldung.
      Die Fehlermeldung lautet schlicht: baumwindows32.exe funktioniert nicht mehr. Dabei sucht der PC noch nach einer Fehlerbehebung. Nach 2-3 sekunden beendet er die Suche und bietet mir an das Problem an Microsoft zu senden. Ich habe das ganze jetzt einfach per Hand im Editor vervollständigt also hab ich erstmal kein Problem mehr. Dennoch ist es für Sie bestimmt interessant die Ursache zu finden.

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  11. Hallo, gibt es die Möglichkeit, die Bäume von oben nach unten statt von links nach rechts zu erstellen? Vielen Dank für Ihre Antwort.

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